Roberts Savaļnieks ar futbolu sāka nodarboties piecu gadu vecumā Valmierā, ejot brāļa un tēva pēdās. 12 gadu vecumā devās uz Liepāju, pievienojoties SK Liepājas Metalurgs jauniešu komandai.
Latvijas virslīgas čempionātā debitēja 2009. gada 17. septembrī, nākot uz maiņu mačā pret Olimps/RFS. Šajā sezonā palīdzēja klubam kļūt par Latvijas virslīgas čempionu. Kopumā piecu sezonu laikā Liepājas komandas sastāvā aizvadīja 80 spēles virslīgā, gūstot piecus vārtus. Spēlējis gan UEFA Čempionu līgas, gan UEFA Eiropas līgas kvalifikācijā.
2014. gada janvārī parakstīja līgumu ar Polijas Ekstraklasa komandu Jagiellonia Białystok, taču tā paša gada jūnijā atgriezās Liepājā, pievienojoties FK Liepāja. Nākamajā sezonā palīdzēja jaunajam klubam uzvarēt SMScredit.lv virslīgas čempionātā.
Pirms 2016. gada sezonas uz īres līguma tiesībām pievienojās virslīgas debitantiem Riga FC. 2016. gada oktobrī tika panākta vienošanās par Savaļnieka pāreju uz citu galvaspilsētas klubu RFS, kam Roberts pievienojās 2017. gada sezonā. 2018. gadā Roberts aizvadīja savu rezultatīvāko sezonu virslīgā, gūstot 6 vārtus. Viņa kontā arī 5 rezultatīvas piespēles. RFS lielu daļas sezonas bija līdere, taču finišēja 3. vietā. Roberts RFS rindās vairākkārt pildījis arī komandas kapteiņa pienākumus. 2021. gadā ar RFS kļuva par virslīgas čempionu, iegūstot tajā pašā gadā arī Latvijas kausu.
Bijis Latvijas jauniešu izlašu pastāvīgs dalībnieks. Pirmo reizi Latvijas nacionālās futbola izlases kandidātu lokā izsaukts 2014. gada februārī pirms draudzības spēles pret Maķedoniju, taču debitēja divus gadus vēlāk - 2016. gada 25. martā pārbaudes spēlē Trnavā pret Slovākiju (0:0). Toreiz Roberts spēli uzsāka komandas sākumsastāvā un nospēlēja līdz 76. minūtei. Pirmo reizi visas 90 minūtes laukumā aizvadīja 2018. gada 25. martā pārbaudes spēlē pret Gibraltāru. Pirmos vārtus valstsvienības rindās guva 2021. gada martā pret Turciju (3:3), ievadot Latvijas izlases atspēlēšanos.
Roberts ir trīskārtējs Baltijas kausa ieguvējs ar Latvijas izlasi (2016., 2018., 2022.).
Informācija atjaunota 14.02.2024.
