Vārtsargs Pāvels Šteinbors karjeru sāka JFC Skonto sistēmā. Pirmie treneri bija Anatolijs Čebans un Vladimirs Beļajevs. Vēlāk nokļuva Skonto FC sastāvā, kļūstot par trīskārtēju Latvijas virslīgas čempionu (2001., 2002., 2003.) un divkārtēju Latvijas kausa ieguvēju (2001., 2002.).
2004. gadā pārcēlās uz FK Jūrmala, bet 2008. gadā līdz sezonas beigām tika izīrēts Anglijas čempionāta klubam Blackpool. Pēc īres līguma beigām atgriezās Latvijā un pievienojās SK Liepājas Metalurgs sastāvam, ar kuru kopā 2009. gadā triumfēja virslīgas čempionātā. 2011. gadā kļuva par kluba pamatvārtsargu.
2012. gada jūlijā pievienojās Dienvidāfrikas klubam Golden Arrows. 2013. gada jūlijā Šteinbors pārcēlās uz Polijas Ekstraklasa klubu Górnik Zabrze. Komandā nospēlēja divas pilnas sezonas, aizvadot vairāk nekā 50 spēles. Pirms 2015./2016. gada sezonas pievienojās Kipras 1. divīzijas klubam Nea Salamina. Pēc vienas sezonas Kiprā atgriezās Polijā, parakstot līgumu ar MZKS Arka Gdynia, ar kuru kopā 2017. gadā triumfēja gan Polijas kausa, gan Superkausa izcīņā, pēcspēles soda sitienu sērijā uzvarot čempioni Legia. Televīzijas kanāla Canal+, kam pieder raidtiesību kontrolpakete, eksperti Pāvelu Šteinboru iekļāva 2017. gada Polijas Ekstraklasa rudens simboliskajā izlasē. 2018. gadā Šteinbors kļuva par vienīgo visā Ekstraklasā, kas visās spēlēs piedalījās no zvana līdz zvanam. Kopā tādas bija 36 spēles.
2019. gada 3. martā Polijas Ekstraklasas izbraukuma spēlē pret Poznaņas Lech Pāvels bija Arka komandas kapteinis (0:1), kas viņam bija pirmais šāda veida gods profesionāļa karjerā.
Karjeras laikā Pāvels pārstāvējis dažāda vecuma Latvijas jauniešu izlases, pieaugušo valstsvienībā debitēja 2015. gada 13. novembrī pārbaudes spēlē Belfāstā pret Ziemeļīriju (0:1). Toreiz Pāvels Šteinbors devās laukumā uz maiņu 75. minūtē, nomainot Andri Vaņinu. Pirmo reizi Latvijas nacionālās izlases rindās sākumsastāvā devās savu skatītāju priekšā 2017. gada 12. jūnijā Skonto stadionā notikušajā pārbaudes spēlē pret Igauniju (1:2).
Treneri Latvijā: A. Starkovs, Skonto (2001-2004), J. Popkovs, FC Jūrmala (2004-2006), V. Babičevs, FC Jūrmala (2006), G. Ērglis, FC Jūrmala (2007), V. Babičevs, FC Jūrmala (2008-2009), V. Osipovs, SK Liepājas metalurgs (2010-2012)
