Antona pirmais treneris bija Genādijs Šitiks. Malējais aizsargs gadā 2008. gadā spēlēja Rēzeknes SK Blāzma sastāvā, no kurienes pievienojās tradīcijām bagātā Skotijas Premjerlīgas kluba Glāzgovas Celtic sistēmai. Turpmākos gadus Antons pavadīja īrē tādos Skotijas klubos kā Brechin City un Stranraer City FC, bet 2011. gadā atgriezās Latvijā, parakstot līgumu ar FK Ventspils.

Ventspilnieku rindās Antons kļuva par trīskārtēju Latvijas Virslīgas čempionu, kā arī vienreiz ieguva Latvijas kausu. 2015. gadā aizsargs nolēma spert nākamo soli karjerai ārzemēs un atgriezās Skotijas, papildinot Premjerlīgas komandas Hamilton Academical rindas. Premjerlīgā viņš kopā aizvadīja 36 spēles, visus mačus sākot starta sastāvā un tikai vienā neaizvadot visas 90 minūtes.

2017. gadā Antons Kurakins piekrita Riga FC piedāvājumam, atgriežoties Virslīgā, kur pēc gada izdevās izcīnīt zelta medaļas. 2018. gadā Riga FC triumfēja arī Latvijas kausa izcīņā.

Antons ir spēlējis dažāda vecuma Latvijas jauniešu izlasēs. Pirmo izsaukumu uz Aleksandra Starkova vadīto nacionālo izlasi Antons izpelnījās 2013. gadā pārbaudes spēlē pret Japānu. Toreiz viņš devās kopā ar komandu uz Kobi, taču pie spēles laika vēl netika. Otro reizi Antons tika izsaukts jau Mariana Pahara vadībā pirms pārbaudes spēles pret Īriju 2013. gada novembrī.

Oficiālo debiju valstsvienībā kreisās malas aizsargs piedzīvoja 2014. gada 5. martā pārbaudes spēlē (1:2) Skopjē pret Maķedoniju, nospēlēdams pilnu maču.

Kopā ar Latvijas izlasi 2014. un 2016. gadā Antons triumfēja Baltijas kausa izcīņā.