Aleksandrs Solovjovs futbolista karjeru sāka JFC Skonto sistēmā. Pirmie treneri bija Aleksandrs Raiss un Vladimirs Beškarevs. 2007. gadā tika izīrēts citam Virslīgas klubam JFK Olimps.
Aleksandrs savulaik bijis dažādu vecumu Latvijas jauniešu izlašu spēlētājs. Būdams viens perspektīvākajiem savas paaudzes futbolistiem, karjeras laikā izpelnījās ārzemju skautu interesi un devās atrādīties vairākos klubos Krievijā, Anglijā un Itālijā. Lai arī allaž pārbaudēs atstāja labu iespaidu, līgums dažādu iemeslu dēļ tā arī netika parakstīts.
Tā vietā 2008. gadam septembrī Aleksandrs nokļuva FK Ventspils. 2009. gada rudenī viņam radās iespēja pierādīt sevi UEFA Eiropas līgas grupu turnīrā, palīdzot Kurzemes klubam izcīnīt Latvijas futbolam vēsturiskos trīs neizšķirtus apakšgrupā kopā ar Berlīnes Hertha, Nīderlandes klubu Heerenveen un Portugāles Sporting no Lisabonas. Nākamajā sezonā Aleksandrs tika izīrēts citam Ventspils klubam FC Tranzīts, taču drīz pameta Ventspili.
2010. gada augustā sekoja karjeras nākamais posms - šoreiz pusgads Kipras 2. divīzijas klubā Atromitos Yeroskipou. 2011. gadā neilgu laiku spēlēja vienā no Anglijas zemāko līgu klubiem Nantwich Town, savukārt 2012. gada sezonu aizvadīja Lietuvas A līgas komandā Tauras, kur izcēlās ar diviem vārtu guvumiem.
Pēc atgriešanās Latvijā pārstāvējis arī tādus klubus kā FC Jūrmala, Spartaks Jūrmala, Daugavpils FC Daugava un FB Gulbene. 2013. gada sezonā kopā ar tā laika Latvijas čempioniem FC Daugava startēja arī UEFA Čempionu līgas kvalifikācijas turnīrā.
Pēc neilgas spēlēšanas Gulbenē devās uz ziemeļiem, kur 2016. gada sezonas sākumā pievienojās Igaunijas klubam Sillamäe Kalev. Guvis vienus vārtus arī Igaunijas Meistarlīgā.
2017. gada sākumā atgriezās Latvijā, parakstot līgumu ar SynotTip Virslīgas klubu RFS, kur kļuva par stabilu pamatsastāva spēlētāju. Pateicoties sekmīgajam sniegumam tieši šajā galvaspilsētas klubā, tā brīža valstsvienības galvenais treneris Marians Pahars viņu pirmo reizi karjerā iekļāva oficiālajā kandidātu sarakstā. Valstsvienībā Aleksandrs debitēja 29 gadu vecumā - 2017. gada 25. martā FIFA Pasaules kausa kvalifikācijas spēlē Ženēvā pret Šveici (0:1), laukumā aizvadot visas 90 minūtes. Pēc trijām dienām nospēlēja pilnu maču arī pārbaudes spēlē Tbilisi pret Gruziju (0:5).
